上取点C，弦AC交BF于P，弦CB交AE于Q.证明四边形APQB的面积是1.
图2-2-7
上取点C，弦AC交BF于P，弦CB交AE于Q.证明四边形APQB的面积是1.
图2-2-7
思路分析：
由已知条件可以证明四边形ABEF是正方形，且边长为2，则正方形面积为2.而△ABD的面积为正方形面积的一半，所以，只需证明S四边形APQB=S△ABD，即证S△BPD=S△BPQ，即证DQ∥PB.
因为BP⊥AE，所以，只需证DQ⊥AE.
证明：
∵AE、BF为互相垂直的两条直径，垂足O为圆心，∴AE、BF互相平分、垂直且相等.
∴四边形ABEF是正方形.
∴∠ACB=∠AEF=45°，
即∠DCQ=∠QED.
∴D、Q、E、C四点共圆.连结CE、DQ，则∠DCE+∠DQE=180°.
∵AE为⊙O的直径，
∴∠DCE=90°，∠DQE=90°.
∵∠FOE=90°，进而DQ∥BF，
∴S△BPQ=S△BPD.
∴S△ABP+S△BPQ=S△ABP+S△BPD，即S四边形ABQP=S△ABD.
∵⊙O的半径为1，∴正方形边长为
，即AB=AF=
.
∴S四边形ABQP=S△ABD=
AB·AF=1.
方法归纳
当题目的结论直接证明较繁或无法证明时，可根据条件先证明某四点共圆，再利用圆的性质可使问题得以解决，这种方法常称之为“作辅助圆”方法.