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已知双曲线的中心在原点,F1、F2为左、右焦点,且在坐标轴上,离心率

已知双曲线的中心在原点,F1、F2为左、右焦点,且在坐标轴上,离心率为,又双曲线过点(4,-).

(1)求此双曲线的方程;

(2)若点M(3,m)在此双曲线上,证明F1M⊥F2M;

(3)求△F1MF2的面积.

答案

(1)解:

=e2=1,∴a2=b2.

设双曲线方程为x2-y2=λ,

把(4,-10)代入可得λ=6.

于是双曲线方程为

=1.

(2)证明:∵M在双曲线上,故有9-m2=6,

解得m=±

.

∴M(3,

)或M(3,-),F1(-2,0),F2(2,0).

当M(3,

)时,·==-1,∴F1M⊥F2M.

同理,当M(3,-

)时,F1M⊥F2M.

综上,有F1M⊥F2M.

(3)解:S=

|F1F2|·|m|=·4·=6.

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