如图在四棱锥
中,底面
是边长为
的正方形,侧面
底面，且
,设
、
分别为
、
的中点．
(Ⅰ) 求证：
//平面；
(Ⅱ) 求
证：面
平面
；
(Ⅲ) 求二面角
的正切值．
如图在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面，且,设、分别为、的中点．
(Ⅰ) 求证： //平面；
(Ⅱ) 求证：面平面；
(Ⅲ) 求二面角的正切值．
.解：法一(Ⅰ)证明：为平行四边形
连结
，为
中点，
为中点∴在
中//
且
平面，
平面
∴
(Ⅱ)：因为面面 平面
面
为正方形，
，
平面
所以
平面 ∴
又，所以
是等腰直角三角形，
且
即
，且
、
面
面
又
面 面
面
(Ⅲ)设的中点为
,连结
,
,
则
由(Ⅱ)知
面,
，
面
，
，
是二面角的平面角 
中，
故所求二面角的正切值为
法二：如图,取
的中点
, 连结
,
.
∵
, ∴
.
∵侧面底面,
,
∴
,
而
分别为
的中点,∴
,
又是正方形,故
.
∵,∴,
.
以为原点,直线
为
轴建立空间直线坐标系,
则有
,
,
,
,
,
.
∵为的中点, ∴
（Ⅰ）易知平面的法向量为
而
,
且
, ∴ //平面
(Ⅱ)∵
,
∴
,
∴
,从而
,又,
,
∴
,而
,
∴平面平面．
(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面的法向量为
.
设平面
的法向量为
.∵
,
∴由
可得
,令
,则
,
故
∴
,
即二面角的余弦值为
,
所以二面角的正切值为