.设函数
。
（1）若
在区间
上存在单调递减区间，求
的取值范围；
（2）当
时，在区间
上的最大值为15，求在区间上的最小值。
.设函数。
（1）若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围；
（2）当时，在区间上的最大值为15，求在区间上的最小值。
(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，利用f（x）在区间上存在单调递减区间，转化为导函数
在上存在函数值小于零的区间，列出不等式求解a的范围即可．
（2）判断导函数的开口方向，对称轴，利用函数f（x）的上单调性，求出a，然后求解最小值．
【详解】解：（1）函数
，a∈R．
可得．
由条件f（x）在区间
上存在单调递减区间，知导函数在上存在函数值小于零的区间，
只需
，解得
，
故a的取值范围为
．
（2）
的图象开口向上，且对称轴x＝﹣1，
f′（0）＝a＜0，f′（3）＝9+6+a＝15+a＞0，
所以必存在一点x0∈（0，3），使得f′（x0）＝0，
此时函数f（x）在[0，x0]上单调递减，
在[x0，3]单调递增，又由于f（0）＝0，f（3）＝9+9+a＝18+3a＞0＝f（0）
所以f（3）＝18+3a＝15，即a＝﹣1，此时，
由
，
所以函数
．
【点睛】本题考查函数的导数的应用，导函数的性质，函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．