（2009江西卷理）（本小题满分12分）
已知点
为双曲线
（
为正常数）上任一点,
为双曲线的右焦点,过
作右准线的垂线,垂足为
,连接
并延长交
轴于
. 
(1) 求线段的中点
的轨迹
的方程;
(2) 设轨迹与
轴交于
两点,在上任取一点
,直线
分别交轴于
两点.求证:以
为直径的圆过两定点.
（2009江西卷理）（本小题满分12分）
已知点为双曲线（为正常数）上任一点,为双曲线的右焦点,过作右准线的垂线,垂足为,连接并延长交轴于.
(1) 求线段的中点的轨迹的方程;
(2) 设轨迹与轴交于两点,在上任取一点,直线分别交轴于两点.求证:以为直径的圆过两定点.
解析： (1) 由已知得
,则直线
的方程为:
,
令
得
,即
,
设
,则
,即
代入
得:
,
即
的轨迹
的方程为
. 
(2) 在中令
得
,则不妨设
,
于是直线
的方程为:
,
直线
的方程为:
,
则
,
则以
为直径的圆的方程为: 
,
令得:
,而
在上,则
,
于是
,即以为直径的圆过两定点
.