思路分析:本题是在空间解决测量问题的例子,这类问题往往要用到立体几何中的知识.求解本例的关键是确定沿途测塔的仰角,其最大仰角在何处,该处距塔底间的距离是多少.只要求得该距离,则在相应的直角三角形中,就不难求得塔高.另外,本题在描述角的时候用到正东、南偏西、东北方向等方位角及仰角的概念,在解决这种问题时,一般要按地图方位构图.设开始时人在A处,最后在B处,CD表示塔.
解:如图,由题设条件知∠CAB=∠A=90°-60°=30°,∠ABC=45°-∠A=45°-30°=15°.
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-30°-15°=135°.
又∵AB=40米,
在△ABC中,由正弦定理知
=
,
∴AC=
=40
sin(45°-30°)=40
(
·
-
·
)=20(
-1).
在△ABC中,过C作AB的垂线,设垂足为E,则由立体几何知识可知沿途测得塔的最大仰角就是∠CED,即∠CED=30°.
在Rt△ACE中,EC=AC·sin∠BAC=ACsin30°=20(
-1)·
=10(
-1).
在Rt△DCE中,CD=CE·tan∠CED=10(
-1)tan30°=
.
∴塔高为
米.