已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝
ax2＋2x(a≠0)．
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)．
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
.解 (1)h(x)＝ln x－
ax2－2x，x∈(0，＋∞)，
所以h′(x)＝
－ax－2，由于h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，
所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解， 即a>
－
有解．
设G(x)＝－，所以只要a>G(x)min即可． 而G(x)＝
2－1，所以G(x)min＝－1.
所以a>－1. 又因为a≠0，所以a的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)．
(2)因为h(x)在[1,4]上单调递减， 所以当x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立． 由(1)知G(x)＝－， 所以a≥G(x)max，而G(x)＝2－1，
因为x∈[1,4]，所以∈， 所以G(x)max＝－
(此时x＝4)，
所以a≥－，又因为a≠0， 所以a的取值范围是
∪(0，＋∞)．