(Ⅰ)求b与c的关系式(用c表示b);
(Ⅱ)设函数F(x)=f(x)g(x)在(－∞,+∞)内有极值点,求c的取值范围.
(Ⅰ)求b与c的关系式(用c表示b);
(Ⅱ)设函数F(x)=f(x)g(x)在(－∞,+∞)内有极值点,求c的取值范围.
(22)本小题考查导数、切线、极值等知识及综合运用数学知识解决问题的能力.
解：(Ⅰ)依题意,令f′(x)=g′(x),得2x+b=1,故x=
由于f(
),得(b+1)2=4c.∵b＞－1,c＞0,∴b=－1+2
(Ⅱ)F(x)=f(x)g(x)=x3+2bx2+(b2+c)x+bc.
∴F′(x)=3x2+4bx+b2+c.
令F′(x)=0,即3x2+4bx+b2+c=0.
则Δ=16b2－12(b2+c)=4(b2－3c).
若Δ=0,则F′(x)=0有一个实根x0,且F′(x)的变化如下:
x | (－∞,x0) | x0 | (x0,+∞) |
F′(x) | + | 0 | + |
于是x=x0不是函数F(x)的极值点.
若Δ>0,则F′(x)=0有两个不相等的实根x1,x2(x1＜x2),且F′(x)的变化如下:
x | (－∞,x1) | x1 | (x1,x2) | x2 | (x2+∞) |
F′(x) | + | 0 | － | 0 | + |
由此,x=x1是函数F(x)的极大值点,x=x2是函数F(x)的极小值点.
综上所述,当且仅当Δ＞0时,函数F(x)在(－∞,+∞)上有极值点.
由Δ=4(b2－3c)＞0得b＜－
.∵b=－1+2
＜－
c或－1+2c＞
.解之得0＜c＜7－4
.故所求c的取值范围是(0,7－4
,+∞).