设各项均为正数的数列{an}满足
.
（Ⅰ）若
求a3,a4,并猜想a2008的值（不需证明）;
（Ⅱ）若
对n≥2恒成立，求a2的值.
设各项均为正数的数列{an}满足.
（Ⅰ）若求a3,a4,并猜想a2008的值（不需证明）;
（Ⅱ）若对n≥2恒成立，求a2的值.
解：（I）因a1=2, a2=2-2,故
由此有
, 
, 
,
,……
从而猜想an的通项为
,
所以
（Ⅱ）令xn=log2an.则
,故只需求x2的值。
设Sn表示xn的前n项和，则a1a2…an=
,由2
≤a1a2…an＜4得
≤Sn＝x1+x2+…+xn＜2（n≥2）.
因上式对n=2成立，可得≤x1+x2，又由a1=2,得x1＝1,故x2≥
.
由于a1=2，
（n∈N*）,得
（n∈N*）,即
，
因此数列｛xn+1+2xn｝是首项为x2+2,公比为的等比数列，故
xn+1+2xn=（x2+2）
（n∈N*）.
将上式对n求和得
Sn+1－x1+2Sn=（x2+2）（1++…+）=（x2+2）（2－）（n≥2）.
因Sn＜2，Sn+1＜2（n≥2）且x1=1,故
（x2+2）（2－）＜5（n≥2）.
因此2x2－1＜
（n≥2）.
下证x2≤，若不然，假设x2＞，则由上式知，不等式
2n－1＜
对n≥2恒成立，但这是不可能的，因此x2≤.
又x2≥，故x2=，所以a2=2
=.