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如图,在直角梯形ABCD中,∠D =∠BCD = 90°,∠B = 60°,AB = 6,AD = 9,点E是CD上的一个动点(E不与D重合),过点E作EF∥AC,交AD于点F(当E运动到C时,EF与AC重合),把△DEF沿着EF对折,点D的对应点是点G,如图①.

【小题1】求CD的长及∠1的度数;
【小题2】设DE = x,△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y.求y与x之间的函数关系式,并求x为何值时,y的值最大?最大值是多少?
【小题3】当点G刚好落在线段BC上时,如图②,若此时将所得到的△EFG沿直线CB向左平移,速度为每秒1个单位,当E点移动到线段AB上时运动停止.设平移时间为t(秒),在平移过程中是否存在某一时刻t,使得△ABE为等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由

答案

p;【答案】
【小题1】CD=   ∠1=30°
【小题2】Y
时,y的值最大,y的最大值为
【小题3】①若AE=BE,解得t=9
②若AB=AE,解得t=9-2
③若BA=BE,解得t=12-解析:

(1)  过点A作AH⊥BC于点H                (1分)
∵在Rt△AHB中,AB=6,∠B=60°
∴AH=AB·=
∵四边形ABCD为直角梯形
∴四边形AHCD为矩形
∴CD=AH=                         (2分)
 
∴∠CAD=30°
∵EF∥AC
∴∠1=∠CAD=30°                        (4分)
(2)点G恰好在BC上,由对折的对称性可知△FGE≌△FDE  
∴ GE="DE" =x,∠FEG=∠FED=60°
∴∠GEC=60°
因为△CEG是直角三角形
∴∠EGC="30°"
∴在Rt△CEG中,EC=EG=x
由DE+EC=CD 得 
∴x=                             (5分)



>0,对称轴为y轴
∴当,y随x的增大而增大
∴当x=时,=            (6分)
<x≤时,设FG,EG分别交BC于点M、N
∵DE=x
∴EC=,NE=2
∴NG=GE-NE==
又∵∠MNG=∠ENC=30°,∠G=90°
∴MG==


               (7分)
,对称轴为直线
∴当<x≤时,y有最大值
∴当时,=               (8分)
综合两种情形:由于 
∴当时,y的值最大,y的最大值为                (9分)
(3)由题意可知:AB=6,分三种情况:
①若AE=BE,解得t=9
②若AB=AE,解得t=9-2
③若BA=BE,解得t=12-                                              (12分)

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