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如图,设P为长方形ABCD所在平面外一点,M、N分别为AB、PD上的点,且=,求

如图,设P为长方形ABCD所在平面外一点,M、N分别为AB、PD上的点,且=,求证:直线MN∥平面PBC.

答案

思路分析:要证直线MN∥平面PBC,只需证明MN∥平面PBC内的一条直线或MN所在的某个平面∥平面PBC.

证法一：过N作NR∥DC交PC于点R,连结RB,依题意得

   

====NR=MB.

    ∵NR∥DC∥AB,

    ∴四边形MNRB是平行四边形.

    ∴MN∥RB.

    又∵RB平面PBC,

    ∴直线MN∥平面PBC.

证法二:过N作NQ∥AD交PA于点Q,连结QM,

    ∵

==,

    ∴QM∥PB.

    又NQ∥AD∥BC,

    ∴平面MQN∥平面PBC.

    ∴直线MN∥平面PBC.

    证法三:过N作NR∥DC交PC于点R,连结RB,依题意有

==,

    ∴

=,=++=.

    ∴MN∥RB.

    又∵RB平面PBC,∴直线MN∥平面PBC.


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