如图,在四棱锥B-AA1C1C中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A1-BC1-C的余弦值;
(
Ⅲ)证明:在线段上
存在点D,使得AD⊥A1B,并求
的值.
如图,在四棱锥B-AA1C1C中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A1-BC1-C的余弦值;
(Ⅲ)证明:在线段上存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.
(I)因为AA1C1C为正方形,所以AA1 ⊥AC.
因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC.
(II)由(I)知AA1 ⊥AC,AA1 ⊥AB. 由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC. 如图,以A为原点建立空间直角坐标系A-
,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),
设平面A1BC1的法向量为
,则
,即
,
令
,则
,
,所以
.
同理可得,平面BCC1的法向量为
,所以
. 由题知二面角A1-BC1-C为钝角,所以二面角A1-BC1-C的余弦值为
.
(III)设D
是直线BC1上一点,且
. 所以
.解得
,
,
.
所以
.
由
,即
.解得
.
因为
,所以在线段BC1上存在点D,
使得AD⊥A1B. 此时,
.