．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，E为AB的中点，F为CC1的中点．
（1）证明：BF∥平面ECD1；
（2）求二面角D1﹣EC﹣D的余弦值．
．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，E为AB的中点，F为CC1的中点．
（1）证明：BF∥平面ECD1；
（2）求二面角D1﹣EC﹣D的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【专题】空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（1）取CD1中点G，连结FG，由已知推导出四边形FGEB为平行四边形，由此能证明BF∥平面ECD1．
（2）连结DE，E为AB的中点，DE⊥EC，DD1⊥EC，由已知得∠DED1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角，由此能求出二面角D1﹣EC﹣D的余弦值．
【解答】（1）证明：取CD1中点G，连结FG．
∵F为CC1的中点D1，∴
且FG∥C1D1，
∵AB=C1D1且AB∥C1D1，∴
且FG∥BE，
∴四边形FGEB为平行四边形∴BF∥GE，…（4分）
∵GE⊂平面ECD1，BF⊄平面ECD1，
∴BF∥平面ECD1．…（7分）
（2）解：连结DE，
∵AD=AA1=1，AB=2，E为AB的中点，∴DE⊥EC，…（9分）
∵DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥EC，
又DD1∩DE=D，DD1⊂平面EDD1，
DE⊂平面EDD1∴CE⊥平面EDD1，∴CE⊥ED1，…（11分）
∴∠DED1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．…（12分）
Rt△ADE中
，
∴Rt△D1DE中，
，
∴
．…（14分）
【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．