已知
，函数
，
（其中
为自然对数的底数）．
（1）求函数
在区间
上的最小值；
（2）是否存在实数
，使曲线
在点
处的切线与
轴垂直? 若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
已知，函数，（其中为自然对数的底数）．
（1）求函数在区间上的最小值；
（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）
（1）解：∵，∴
．
令
，得
．
①若
，则
，
在区间上单调递增，此时函数无最小值．………2分
②若
，当
时，
，函数在区间
上单调递减，
当
时，，函数在区间
上单调递增，
所以当时，函数取得最小值
．………4分
③若
，则
，函数在区间上单调递减，
所以当
时，函数取得最小值
．………6分
综上可知，当时，函数在区间上无最小值；
当时，函数在区间上的最小值为；
当时，函数在区间上的最小值为．………7分
（2）解：∵，
，
∴ 
．………8分
由（1）可知，当
时，
．
此时在区间上的最小值为
，即
．
当，
，
，
∴
．………10分
曲线在点处的切线与轴垂直
等价于方程
有实数解．
而
，即方程无实数解．故不存在，使曲线在点处的切线与轴垂直．………14分