已知顶点为原点O的抛物线
的焦点
与椭圆
的右焦点重合
与
在第一和第四象限的交点分别为A、B．
(1) 若△AOB是边长为
的正三角形，求抛物线的方程；
(2)若
，求椭圆的离心率
；
(3) 点
为椭圆上的任一点，若直线
、
分别与
轴交于点
和
，证明：
．
已知顶点为原点O的抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合
与在第一和第四象限的交点分别为A、B．
(1) 若△AOB是边长为的正三角形，求抛物线的方程；
(2)若，求椭圆的离心率；
(3) 点为椭圆上的任一点，若直线、分别与轴交于点和，证明：
．
解：（1）设椭圆的右焦点为
，依题意得抛物线的方程为
∵△
是边长为的正三角形，
∴点A的坐标是
，
代入抛物线的方程解得
，
故所求抛物线的方程为
（2）∵, ∴ 点
的横坐标是
代入椭圆方程解得
，即点的坐标是
∵ 点在抛物线上，
∴
，
将
代入上式整理得：
，
即
，解得
∵ 
，故所求椭圆的离心率
。
（3）证明：设
，代入椭圆方程得
而直线
的方程为
令
得
。
在中，以
代换
得
∴ 
…