证明:若一个凸多面体的各顶点处的棱数都是奇数,则它的顶点数必是

证明:若一个凸多面体的各顶点处的棱数都是奇数,则它的顶点数必是偶数.

答案

证明:设顶点数、面数、棱数分别为V、F、E,则V+F-E=2,

假设顶点数为奇数,

因各顶点处的棱数都是奇数,设为x₁,x₂,…,x_n,

则V,

则.

又∵V为奇数,

∴不为正整数.

这与已知的棱数为正整数矛盾.∴V为偶数.

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