=(x1,y1),
=(x2,y2),
=(x,y),若x=λx1+(1-λ)x2,记向量
=λ
+(1-λ)
.现在定义“函数y=f(x)在［x1,x2］上可在标准k下线性近似”是指|
|≤k恒成立,其中k是一个人为确定的正数.(1)证明0≤λ≤1;
(2)请你给出一个标准k的范围,使得［0,1］上的函数y=x2与y=x3中有且只有一个可在标准k下线性近似.
=(x1,y1),=(x2,y2),=(x,y),若x=λx1+(1-λ)x2,记向量=λ+(1-λ).现在定义“函数y=f(x)在［x1,x2］上可在标准k下线性近似”是指||≤k恒成立,其中k是一个人为确定的正数.(1)证明0≤λ≤1;
(2)请你给出一个标准k的范围,使得［0,1］上的函数y=x2与y=x3中有且只有一个可在标准k下线性近似.
∴x1-x2≤(x1-x2)λ≤0.∵x1-x2＜0,∴0≤λ≤1.
(2)由=λ+(1-λ)得到=λ,
∴B、N、A三点在一条直线上.
又由(1)的结论,N在线段AB上且与点M的横坐标相同,
对于［0,1］上的函数y=x2,A(0,0),B(1,1),
则有||=x-x2=-(x
|∈［0,
］; 对于［0,1］上的函数y=x3,则有|
|=x-x3=g(x),
在(0,1)上,g′(x)=1-3x2,
可知在(0,1)上y=g(x)只有一个极大值点x=
,
∴函数y=g(x)在(0,
)上是增函数;在(
,1)上是减函数.又g(
)=
,
故|
|∈［0,
］.
经过比较,
＜
,∴取k∈［
,
),则有函数y=x2在［0,1］上可在标准k下线性近似,函数y=x3在［0,1］上不可在标准k下线性近似.