已知正三棱柱ABC—A1B1C1,若过面对角线AB1与另一面对角线BC1平行的平

(1)确定D的位置,并证明你的结论;

(2)证明平面AB₁D⊥平面AA₁D;

(3)若AB∶AA₁=,求平面AB₁D与平面AB₁A₁所成角的大小.

剖析:本题的结论是“开放性”的,点D位置的确定如果仅凭已知条件推理难以得出.由于AB₁与BC₁这两条面对角线是相邻两侧面上的异面直线,于是可考虑将BC₁沿BA平行移动,BC₁取AE₁位置,则平面AB₁E₁一定平行于BC₁,问题可以解决.

(1)解:如图,将正三棱柱ABC—A₁B₁C₁补成一直平行六面体ABCE—A₁B₁C₁E₁,由AE₁∥BC₁,AE₁平面AB₁E₁,知BC₁∥平面AB₁E₁,故平面AB₁E₁应为所求平面,此时平面AB₁E₁交A₁C₁于点D,由平行四边形对角线互相平行性质知,D为A₁C₁的中点.

(2)证明:连结AD,从直平行六面体定义知AA₁⊥底面A₁B₁C₁D₁,且从A₁B₁C₁E₁是菱形知,B₁E₁⊥A₁C₁,据三垂线定理知,B₁E₁⊥AD.

    又AD∩A₁C₁=D,所以B₁E₁⊥平面AA₁D.

    又B₁E₁平面AB₁D,所以平面AB₁D⊥平面AA₁D.

(3)解:因为平面AB₁D∩平面AA₁D=AD,

    所以过A₁作A₁H⊥AD于点H.

    作HF⊥AB₁于点F,连结A₁F,从三垂线定理知A₁F⊥AB₁.

    故∠A₁FH是二面角A₁AB₁D的平面角.

    设侧棱AA₁=1,侧棱AB=.

    于是AB₁==.

    在Rt△AB₁A₁中,A₁F===,

    在Rt△AA₁D中,AA₁=1,A₁D=A₁C₁=,AD==.

    则A₁H==.

    在Rt△A₁FH中,sin∠A₁FH==,所以∠A₁FH=45°.

    因此可知平面AB₁D与平面AB₁A₁所成角为45°或135°.

讲评:本题主要考查棱柱的性质,以及面面关系、二面角的计算,同时考查空间想象能力和综合运用知识解决问题的能力.