如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；
(2)证明AE⊥平面PCD；
(3)求二面角A－PD－C的正弦值．
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；
(2)证明AE⊥平面PCD；
(3)求二面角A－PD－C的正弦值．
(1)解 在四棱锥P－ABCD中，
因PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，
故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩CD＝A，
从而AB⊥平面PAD，
故PB在平面PAD内的射影为PA，
从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．
在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°.
所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.
(2)证明 在四棱锥P－ABCD中，
因PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC.
又AE⊂平面PAC，∴AE⊥CD.
由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
又PC∩CD＝C，综上得AE⊥平面PCD.
(3)解 过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示．
由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，
则AM⊥PD.
因此∠AME是二面角A－PD－C的平面角．
由已知，可得∠CAD＝30°.
设AC＝a，可得
所以二面角A－PD－C的正弦值为
.