如图，
是⊙
的直径，点
和点
是⊙上的两点，连接
，
，
，过点作射线交的延长线于点
，使
．
（1）求证：
是⊙的切线；
（2）若
，求阴影部分的面积．
如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接
，过作
于
，由直角三角形的性质及角平分线的性质得到
，再根据直角的定义即可证明∠CAO=90°，即可证明；
（2）由
及圆的性质可得
是等边三角形，再利用割补法即可求出阴影部分的面积.
【详解】
（1）证明：连接，过作于，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴是⊙的切线；
（2）解：∵，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵，
∴
，
，
∴是等边三角形，
∴
，
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∴阴影部分的面积
．
【点睛】此题主要考查圆的切线与扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆的性质及判定定理.