如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=4，将三角形ABD沿BD翻折，使面ABD⊥面BCD．
（Ⅰ） 求线段AC的长度；
（Ⅱ） 求证：AD⊥平面ABC．
如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=4，将三角形ABD沿BD翻折，使面ABD⊥面BCD．
（Ⅰ） 求线段AC的长度；
（Ⅱ） 求证：AD⊥平面ABC．
【考点】直线与平面垂直的判定．
【专题】证明题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】法一：
（Ⅰ）取CD中点E，连接BE，推导出四边形ABDE为正方形，BD⊥BC，从而BC⊥面ABD，由此能求出线段AC的长度．
（Ⅱ）由BC⊥面ABD，得BC⊥AD，又AB⊥AD，由此能证明AD⊥平面ABC．
法二：
（Ⅰ）取CD中点E，连接BE，推导出四边形ABDE为正方形，BD⊥BC，取BD中点F，连接AF，CF，则AF⊥面BCD，由此能求出线段AC的长度．
（Ⅱ）由勾股定理得AD⊥AC，又AB⊥AD，由此能证明AD⊥平面ABC．
【解答】解法一：
解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，
取CD中点E，连接BE，因为AB⊥AD，AB=AD=2，
所以
，又
，
所以四边形ABDE为正方形，即有BE=2，BE⊥CD，
所以
…
在△BCD中，
，所以BD⊥BC，
翻折之后，仍有BD⊥BC…
又面ABD⊥面BCD，面ABD∩面BCD=BD，BC⊂面BCD，所以BC⊥面ABD…
又AB⊂面ABD，所以BC⊥AB…
所以
…
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥面ABD，又AD⊂面ABD，所以BC⊥AD，…
又AB⊥AD，AB∩BC=B，所以AD⊥平面ABC．…
解法二：
解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，取CD中点E，连接BE，
因为AB⊥AD，AB=AD=2，所以
又
，所以四边形ABDE为正方形，
即有BE=2，BE⊥CD，所以
…
在△BCD中，
，所以BD⊥BC，
翻折之后，仍有BD⊥BC…
取BD中点F，连接AF，CF，则有BD⊥AF，
因为面ABD⊥面BCD，面ABD∩面BCD=BD，BD⊥AF，AF⊂面ABD，
所以AF⊥面BCD…
又CF⊂面BCD，AF⊥CF…
因为
，
，
所以
．…
证明：（Ⅱ）在△ACD中，
，CD=4，AD=2，
AD2+AC2=CD2，
所以AD⊥AC…
又AB⊥AD，AB∩AC=A，
所以AD⊥平面ABC．…
【点评】本题考查线段长的求法，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．