已知椭圆
（a＞b＞0）的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线
相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求
的取值范围．
已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围．
解：（Ⅰ）由题意知
，
所以
．
即
．
又因为
，
所以a2=4，b2=3．
故椭圆C的方程为
．
（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x﹣4）．
由
得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．①
设点B（x1，y1），E（x2，y2），则A（x1，﹣y1）．
直线AE的方程为
．
令y=0，得
．
将y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）代入，
整理，得
．②
由①得
，
代入②
整理，得x=1．
所以直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）．
（Ⅲ）当过点Q直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=m（x﹣1），且M（xM，yM），N（xN，yN）在椭圆C上．
由
得（4m2+3）x2﹣8m2x+4m2﹣12=0．
易知△＞0．
所以
，
，
．
则
=
．
因为m2≥0，所以
．
所以
．
当过点Q直线MN的斜率不存在时，其方程为x=1．
解得
，N（1，
）或M（1，）、N（1，﹣）．
此时
．
所以
的取值范围是
．