如图，在
中，
，以
为直径作
，过点C作直线
交的延长线于点D，使
．
（1）求证：为的切线；
（2）若
平分
，且分别交
于点
，当
时，求
的长．
如图，在中，，以为直径作，过点C作直线交的延长线于点D，使．
（1）求证：为的切线；
（2）若平分，且分别交于点，当时，求的长．
(1)见解析；（2）EF=
．
【解析】（1）如图，连接OC，欲证明CD是的切线，只需求得∠OCD=
；
（2）由角平分线及三角形外角性质可得
，即∠CEF=∠CFE，根据勾股定理可求得EF的长．
【详解】
（1）证明：如图，连接OC
∵为的直径
∴
，即∠A+∠ABC=
又∵OC=OB
∴∠ABC=∠OCB
∵
∴∠BCD+∠OCB=，即∠OCD=
∵OC是圆O的半径
∴CD是的切线．
（2）解：∵平分
∴∠CDE=∠ADE
又∵
∴，即∠CEF=∠CFE
∵∠ACB=，
∴CE=CF=2
∴EF=
【点睛】此题主要考查切线的判定方法、角平分线及三角形外角性质和勾股定理，熟练进行推理论证是解题关键．