在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,等边三角形OAB的一个顶点为A

在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,等边三角形OAB的一个顶点为A20),另一个顶点B在第一象限内。

1)求经过OAB三点的抛物线的解析式;

2)如果一个四边形是以它的一条对角线为对称轴的轴对称图形,那么我们称这样的四边形为筝形。点Q在(1)的抛物线上,且以OABQ为顶点的四边形是筝形,求点Q的坐标;

3)设△OAB的外接圆⊙M,试判断(2)中的点Q与⊙M的位置关系,并通过计算说明理由。

答案

解:过BBCx轴于C.

等边三角形的一个顶点为

OB=OA=2AC=OC=1BOC=60°.

BC=.

B       ……………..1

设经过OAB三点的抛物线的

解析式为:.

A20)代入得:

解得.

经过OAB三点的抛物线的解析式为

.

.   …………………..2

2)依题意分为三种情况:

(ⅰ) 当以OAOB为边时,

OA=OB

OOQAB交抛物线于Q.

则四边形OAQB是筝形,且QOA=30°.

     QD轴于DQD=OD,

Q,则.

解得:.

Q.                           …………..2

(ⅱ) 当以OAAB为边时,由对称性可知Q   …………..1

(ⅲ) 当以OBAB为边时,抛物线上不存在这样的点Q使BOQA为筝形.……..1

Q.

3)点Q.

由等边三角形性质可知的外接圆圆心是(2)中BCOQ的交点,

Q时,

MCQD,

∴△OMCOQD.

.

.

.

=.

,

<,

Q在⊙M.                               ……………..2

Q时,由对称性可知点Q在⊙M.

综述,Q在⊙M.                                 ……………..1

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