已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
（
为常数）。
(1) 求函数的解析式；
(2) 当
时，求在
上的最小值，及取得最小值时的
，并猜想在
上的单调递增区间（不必证明）；
(3) 当
时，证明：函数
的图象上至少有一个点落在直线
上。
已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数）。
(1) 求函数的解析式；
(2) 当时，求在上的最小值，及取得最小值时的，并猜想在上的单调递增区间（不必证明）；
(3) 当时，证明：函数的图象上至少有一个点落在直线上。
解：(1) 
时，
， 则 
∵函数是定义在上的奇函数，即
∴
，即 ， 3分
又可知 
。 4分
∴函数的解析式为 
； 6分
(2) 
，∵，
，∴
。
∵ 
9分
∴
，即 
，
。 11分
∴猜想在
上的单调递增区间为
。 12分
(3) 时，任取
，
∵
∴在
上单调递增，即
，即
14分
∵，∴
，
，∴
， 16分
且函数的图像是连续的曲线，
∴当时，函数的图象上至少有一个点落在直线上。 18分