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已知方程x2-(bcosA)x+acosB=0的两根之和等于两根之积,且a、b为△ABC的两

已知方程x2-(bcosA)x+acosB=0的两根之和等于两根之积,且a、b为△ABC的两边,A、B为两个内角,试判断这个三角形的形状.

答案

思路分析:利用正弦定理判断三角形的形状,主要是将已知条件中的边角关系转化为角的关系.本题应利用公式a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC和两角和与差的正弦公式进行求解.

解:设方程的两根为x1、x2,

    由韦达定理可知x1+x2=bcosA,x1x2=acosB,

    根据题意,得bcosA=acosB,

    由正弦定理,得2RsinBcosA=2RsinAcosB,

∴sinAcosB-cosAsinB=0.

∴sin(A-B)=0.

∵A、B为△ABC的内角,

∴0＜A＜π,0＜B＜π,-π＜A-B＜π.

∴A-B=0,即A=B.

∴△ABC是等腰三角形.

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