如图，在三棱锥
中，侧面
与侧面
均为等边三角形，
，
为
中点．
（Ⅰ）证明：
平面
；（Ⅱ）求二面角
的余弦值．
如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，， 为中点．
（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．
证明：（Ⅰ）由题设
，连结
，
所以，
为等腰直角三角形
所以
，且
，又
为等腰三角形，
故
，且
，从而OA2+SO2=SA2．∴
．
又
．
所以
平面
．
（Ⅱ）解法一：
取
中点
，连结
，由（Ⅰ）知
，
得
． 
为二面角
的平面角．
由
得
平面
．
所以
，又
，
故
．
所以二面角的余弦值为
．
解法二：
以
为坐标原点，射线
分别为
轴、
轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系
．设
，则
．
的中点
，
．
．
故
等于二面角的平面角．
，
所以二面角的余弦值为．