设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，S6＝22. (1)求Sn的表达式； (2

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁＝2，S₆＝22.

(1)求S_n的表达式；

(2)若从{a_n}中抽取一个公比为q的等比数列{ak_n}，其中k₁＝1，且k₁<k₂<…<k_n(k_n∈N^*)．

①当q取最小值时，求{k_n}的通项公式；

②若关于n(n∈N^*)的不等式6S_n>k_n＋1有解，试求q的值．

(1)设等差数列的公差为d，则S₆＝6a₁＋×6×5d＝22，解得d＝，

所以S_n＝.

(2)①因为数列{a_n}是正项递增等差数列，所以数列{ak_n}的公比q>1，

若k₂＝2，则由a₂＝，得q＝＝，

此时ak₃＝2·²＝，

由＝(n＋2)，

解得n＝∉N^*，所以k₂>2，同理k₂>3；

若k₂＝4，则由a₄＝4，得q＝2，此时ak_n＝2·2^n－1，另一方面，ak_n＝(k_n＋2)，所以(k_n＋2)＝2ⁿ，即k_n＝3×2^n－1－2，

所以对任何正整数n，ak_n是数列{a_n}的第3·2^n－1－2项．

所以最小的公比q＝2.

所以k_n＝3·2^n－1－2.

②因为ak_n＝＝2q^n－1，得k_n＝3q^n－1－2，而q>1，

所以当q>1且q∈N时，所有的k_n＝3q^n－1－2均为正整数，适合题意；

当q>1且q∉N时，k_n＝3q^n－1－2∈N不全是正整数，不合题意．

而6S_n>k_n＋1有解，所以>1有解，经检验，当q＝2，q＝3，q＝4时，n＝1都是>1的解，适合题意；

下面证当q≥5时，>1无解，

设b_n＝

则b_n＋1－b_n＝

因为所以f(n)＝2[(1－q)n²＋(7－5q)n＋7－q]在n∈N^*上递减，

又因为f(1)<0，所以f(n)<0恒成立，所以b_n＋1－b_n<0，所以b_n≤b₁恒成立，

又因为当q≥5时，b₁<1，所以当q≥5时，6S_n>k_n＋1无解．

综上所述，q的取值为2,3,4.