首页 / 已知点M到点F(0，1)和直线l:y=－1的距离相等，求点M的轨迹方程.  

已知点M到点F(0，1)和直线l:y=－1的距离相等，求点M的轨迹方程.  

已知点M到点F(0，1)和直线l:y=－1的距离相等，求点M的轨迹方程.

 

答案

解:设点M的坐标为(x，y)，点M的轨迹就是集合P={M||MF|＝|MQ|}，其中Q是点M到直线y=－1的垂线的垂足.由两点间距离公式及点到直线的距离公式得

＝      |y＋1|，将上式两边平方得x2＋(y－1)2=(y＋1)2，化简得y=x2.                                 ①

下面证明方程①是所求轨迹的方程.

(1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；

(2)设点M1的坐标(x1，y1)是方程①的解，那么y1=

x12，即x12＋(y1－1)2＝(y1＋1)2，=|y1＋1|，|M1F|＝|M1Q1|.其中Q1是点M1到直线y=－1的垂线的垂足,因此点M1是曲线上的点.

由(1) (2)可知，方程①是所求轨迹的方程，图形如上图所示.


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