△ABC的外接圆半径R=
，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且
=
（1）求角B和边长b；
（2）求S△ABC的最大值及取得最大值时的a，c的值，并判断此时三角形的形状．
△ABC的外接圆半径R=，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且=
（1）求角B和边长b；
（2）求S△ABC的最大值及取得最大值时的a，c的值，并判断此时三角形的形状．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】（1）运用两角和的正弦公式将已知等式化简整理，得到2sinAcosB=sin（B+C），根据三角函数的诱导公式可得sin（B+C）=sinA＞0，从而得出cosB=
，可得
，最后由正弦定理加以计算，可得边b的长；
（2）由b=3且
，利用余弦定理算出a2+c2﹣ac=9，再根据基本不等式算出ac≤9．利用三角形的面积公式算出S△ABC=
，从而得到当且仅当a=c时，S△ABC有最大值
，进而得到此时△ABC是等边三角形．
【解答】解：（1）∵
，
∴2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，可得2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C），
∵在△ABC中，sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA＞0，
∴2sinAcosB=sinA，可得cosB=
．
又∵B∈（0，π），∴
，
由正弦定理
，可得b=2RsinB=2
•sin
=3；
（2）∵b=3，
，
∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得a2+c2﹣ac=9，
因此，ac+9=a2+c2≥2ac，可得ac≤9，当且仅当a=c时等号成立，
∵S△ABC=
=
，∴
由此可得：当且仅当a=c时，S△ABC有最大值
，此时a=b=c=3，可得△ABC是等边三角形．