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过定点A(-2,-1)，倾斜角为45°的直线与抛物线y=ax2交于B、C两点，且|BC|

过定点A(-2,-1)，倾斜角为45°的直线与抛物线y=ax2交于B、C两点，且|BC|是|AB|、|AC|的等比中项，求抛物线方程.

答案

解析

:设A（-2，-1）、B（x1，y1）、C（x2，y2）在x轴上

的射影分别为Ａ′（-2，0）、B′（x1，0）、C′（x2，0）.

∵|BC|2=|AB|·|AC|，

∴|B′C′|2=|A′B′|·|A′C′|.

于是有|x1-x2|2=（x1+2）（x2+2）.①

直线AC的方程为y=x+1,代入y=ax2并整理得ax2-x-1=0.

∴x1+x2=1a，x1x2=-1a.②

把②代入①得a=1或a=-

.

当a=1时，方程ax2-x-1=0根的判别式Δ＞0；

当a=-

时，Δ=0，B、C重合，不合题意，舍去

∴抛物线方程为y=x2．


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