已知函数 .（ 1）讨论 的单调性； （ 2）求曲线 过坐标原点的切线

已知函数 .

（ 1 ）讨论 的单调性；

（ 2 ）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标 .

(1) f(x)=x ³ -x ² +ax+1,f ’ (x)=3x ² -2x+a

①当 a ≥ 时， f’(x)≥0恒成立, ∴ f(x)在R上单调递增。

②当a< 时， f’( x )=0,得 出

f’(x)在(- ∞ ， )( ,+ ∞)上为正

在（ ， ）上为负，在 , 处为 0

所以 f(x)在区间 (- ∞ ， )( ,+ ∞)上单调递增

在区间 ( , )上单调递减

综上，当 a≥ 时 , f( x )单调递增区间为(-∞，+∞)，

当 a < 时， f(x)单调递增区间为(-∞, ), ( ,+∞ ),π

f(x)单调递增区间为( ， )

(2)设切点(x ₀ , y ₀ ) ,则y ₀ =x ₀ ³ -x ₀ ² +ax ₀ +1

k=f‘(x ₀ )= 3 x ₀ ² -2x ₀ + a

∵ f(x)过原点

∴ =3 x ₀ ² -2x ₀ + a

x ₀ ³ -x ₀ ² +ax ₀ +1=3 x ₀ ³ -2x ₀ ² + a x ₀

2 x ₀ ³ -x ₀ ² =1

(x ₀ -1)(2x ₀ ² +x ₀ +1)=0

∴x ₀ =1， y ₀ =a+1

即切点 ( 1 , a+1) ,k=a+1,切线y=(a+1)x

∵

解得 : x ³ -x ² -x+1=0 (x+1)(x- 1) ² =0 x=-1或x=1.

∴ f(-1)=-1-a，f(1)=a+1

∴ 公共点 (- 1 , -1-a) ,(1,1+a)