(1)求f(x)的单调区间;
(2)若对于任意x∈［-2,0］,不等式f(x)≤0恒成立,求a的最大值;
(3)若方程f(x)=0存在三个相异的实数根,求a的取值范围.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若对于任意x∈［-2,0］,不等式f(x)≤0恒成立,求a的最大值;
(3)若方程f(x)=0存在三个相异的实数根,求a的取值范围.
或x＜
;令f′(x)＜0,解得
＜x＜
.从而f(x)的单调递增区间为(-∞,
),(
,+∞);
单调递减区间为(
,
).
(2)由f(x)≤0,得-a≥3x3-4x+1.
由(1)得,函数y=3x3-4x+1在(-2,
)内单调递增,在(
,0)内单调递减,
从而当x=
时,函数y=3x3-4x+1取得最大值
.
因为对于任意x∈［-2,0］,不等式f(x)≤0恒成立,故-a≥
,即a≤-
,
从而a的最大值是-
.
(3)当x变化时,f(x),f′(x)变化情况如下表:
x | (-∞, |
| ( |
| ( |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | ↗ | 极大值a+ | ↘ | 极小值a | ↗ |
①由f(x)的单调性,当极大值a+
＜0或极小值a
＞0时,方程f(x)=0最多有一个实数根;
②当a=
时,解方程f(x)=0,得x=
,x=
,即方程f(x)=0只有两个相异的实数根;
③当a=
时,解方程f(x)=0,得x=
,x=
,即方程f(x)=0只有两个相异的实数根.
如果方程f(x)=0存在三个相异的实数根,
则
解得a∈(
,
).
事实上,当a∈(
,
)时,
∵f(-2)=-15+a＜-15+
＜0,且f(2)=17+a＞17
＞0,
∴方程f(x)=0在(-2,
),(
,
),(
,2)内各有一根.
综上,若方程f(x)=0存在三个相异的实数根,则a的取值范围是(
,
).
)
,
)
,+∞)
