（1）证明:f(0)=0；
（2）证明f(x)=
其中k和h均为常数；
（3）当（2）中的k＞0时，设g(x)=
+f(x)(x＞0)，讨论g(x)在(0,+∞)内的单调性并求极值.
（1）证明:f(0)=0；
（2）证明f(x)=其中k和h均为常数；
（3）当（2）中的k＞0时，设g(x)=+f(x)(x＞0)，讨论g(x)在(0,+∞)内的单调性并求极值.
(1)证明:对于任意的a＞0，x∈R,均有f(ax)=af(x)，①
在①中取a=2,x=0，即得f（0）=2f（0）.
∴f(0)=0.②
(2)证明：当x＞0时,由①得f（x）=f（x·1）=xf（1）.
取k=f（1），则有f（x）=kx,③
当x＜0时，由①得f(x)=f［(-x)·(-1)］=(-x)f(-1).
取h=-f(-1),则有f(x)=hx，④
综合②③④得f(x)=
(3)解:解法1：由（2）中的③知当x＞0时，g(x)=
+kx,从而g′(x)=-
+k=
,x＞0.又因为k＞0,由此可得
X | (0, |
| ( |
g′(x) | - | 0 | + |
g(x) |
| 极小值2 |
|
所以g（x）在区间（0，
）内单调递减，在区间（
，+∞）,内单调递增，在x=
处取得极小值2.
解法2：由（2）中的③知当x＞0时，g(x)=
+kx.
设x1、x2∈(0,+∞),且x1＜x2,则
g(x2)-g(x1)=
(k2x1x2-1).
又因为k＞0,所以
①当0＜x1＜x2＜
时，g(x2)＜g(x1);
②当0＜
＜x1＜x2时，g(x2)＞g(x1).
所以g(x)在区间(0, 
)内单调递减，在区间(
,+∞)内单调递增，在x=
处取得极小值2.
)
,+∞)
