已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：
3x－y＋1＝0，若x＝
时，y＝f(x)有极值．
(1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：
3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．
(1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.①
当x＝时，y＝f(x)有极值，
则f′
＝0，可得4a＋3b＋4＝0.②
由①②解得a＝2，b＝－4.
由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4，
∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5.
∴a＝2，b＝－4，c＝5.
(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
∴f′(x)＝3x2＋4x－4，
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝.
当x变化时，y、y′的取值及变化如下表：
| x | －3 | (－3，－2) | －2 |
|
|
| 1 |
| y′ |
| ＋ | 0 | － | 0 | ＋ | |
| y | 8 | 单调递增↗ | 13 | 单调递减↘ |
| 单调递增↗ | 4 |
∴y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为
.
