上的点列，Q1，Q2，Q3，…，Qn,…是x轴正半轴上的点列，且△OQ1P1，△Q1Q2P2，…，△Qn-1QnPn,…都是正三角形，设它们的边长为a1,a2,…,an,…,求证：a1+a2+…+an=
n(n+1).
上的点列，Q1，Q2，Q3，…，Qn,…是x轴正半轴上的点列，且△OQ1P1，△Q1Q2P2，…，△Qn-1QnPn,…都是正三角形，设它们的边长为a1,a2,…,an,…,求证：a1+a2+…+an=n(n+1).
证明：（1）当n=1时，点P1是直线y=
x与曲线y=的交点，
∴可求出P1（）.
∴a1=|OP1|=
.而
×1×2=
,命题成立.
（2）假设n=k(k∈N
*)时命题成立，即a1+a2+…+ak=
k(k+1),则点Qk的坐标为（
k(k+1),0）,∴直线QkPk+1的方程为y=
［x-
k(k+1)］.代入y=
,解得Pk+1点的坐标为(
,
(k+1)).
∴ak+1=|QkPk+1|=
(k+1)·
=
(k+1).
∴a1+a2+…+ak+ak+1=
k(k+1)+
(k+1)=
(k+1)(k+2).
∴当n=k+1时，命题成立.
由（1）、（2）,可知命题对所有正整数都成立.