（1）求证：MN∥平面AA1B1B；
（2）设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a.问CM为何值时，MN有最小值？并求出最小值.
（1）求证：MN∥平面AA1B1B；
（2）设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a.问CM为何值时，MN有最小值？并求出最小值.
解析：要证线面平行，只要在面AA1B1B中找到一条直线与MN平行即可，利用正方体的性质,B1C=BD.由CM=DN得B1M=BN，于是作ME∥BC交BB1于E.作NF∥AD交AB于F，利用比例线段性质证明MN EF.第（2）题利用（1）的结论，MN=EF.设BE=x,由正方形性质得CM=
x,即DN=
x.于是AF=x.在Rt△BEF中，建立了EF的目标函数，利用函数观点求解.
（1）证明：作ME∥BC交BB1于E，NF∥AD交AB于F，连结EF.∴
和
又由正方体性质得BD=B1C.
又∵CM=DN ，∴B1M=BN.∴
.∴
.
又∵BC=AD，∴ME=NF.又AD 
BC,∴ME∥NF.
∴ME 
NF.∴MEFN是平行四边形.∴MN 
EF.
又∵EF
面ABB1A1，MN
面ABB1A1，
∴MN∥面ABB1A1.
（2）设BE=x,在正方形BB1CC1中，MC=
x.
又∵DN=CM，∴DN=
x.
在正方形ABCD中，DN=
x,∴AF=x.∴FB=a -x.
在Rt△EBF中，EF2=BE2+FB2=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2.
∴MN=
.
当x=
时，MN的最小值为
.
因此当x=
时，MN取得最小值
.