如图，椭圆长轴的端点为A，B，O为椭圆的中心，F为椭圆的右焦点，且
，
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
如图，椭圆长轴的端点为A，B，O为椭圆的中心，F为椭圆的右焦点，且，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解 (1)设椭圆方程为
＋
＝1(a>b>0)，则c＝1，
又∵
＝(a＋c)·(a－c)＝a2－c2＝1.
∴a2＝2，b2＝1.
故椭圆的方程为
＋y2＝1.
(2)假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∵M(0,1)，F(1,0)，∴直线l的斜率k＝1.
于是设直线l为y＝x＋m，由
得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，
x1＋x2＝－
m，①
x1x2＝
.②
又yi＝xi＋m(i＝1,2)，
∴x1(x2－1)＋(x2＋m)(x1＋m－1)＝0，
即2x1x2＋(x1＋x2)(m－1)＋m2－m＝0.
将①②代入得
解得m＝－或m＝1，经检验m＝－符合条件．
故存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，直线l的方程为y＝x－.