（09年东城区期末理）(14分)
已知点
(
N
)顺次为直线
上的点,点
(N)顺次为
轴上的点,其中
,对任意的N,点
、
、
构成以为顶点的等腰三角形.
(Ⅰ)证明:数列
是等差数列;
(Ⅱ)求证:对任意的N,
是常数,并求数列
的通项公式;
(Ⅲ)在上述等腰三角形
中是否存在直角三角形,若存在,求出此时
的值;若不存在,请说明理由.
（09年东城区期末理）(14分)
已知点(N)顺次为直线上的点,点(N)顺次为轴上的点,其中,对任意的N,点、、构成以为顶点的等腰三角形.
(Ⅰ)证明:数列是等差数列;
(Ⅱ)求证:对任意的N,是常数,并求数列的通项公式;
(Ⅲ)在上述等腰三角形中是否存在直角三角形,若存在,求出此时的值;若不存在,请说明理由.
解析：(Ⅰ)依题意有
,于是
.
所以数列
是等差数列. ………………….4分
(Ⅱ)由题意得
,即
, (
) ①
所以又有
. ② ………6分
由②
①得
,
可知
都是等差数列.那么得
,
. (
故
…………10分
(Ⅲ)当
为奇数时,
,所以
当为偶数时,
所以
作
轴,垂足为
则
,要使等腰三角形
为直角三角形,必须且只需
.
当为奇数时,有
,即
. ①
当
时,
;当
时,
;当
, ①式无解.
当为偶数时,有
,同理可求得
.
综上所述,上述等腰三角形中存在直角三角形,此时
的值为
或
或
. ……………………..14分