(文)已知函数f(x)=
x3+
(a-1)x2+bx(a、b为常数)在x=1和x=4处取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈［-2,2］时,函数y=f(x)的图象在直线5x+2y-c=0的下方,求实数c的取值范围.
(文)已知函数f(x)=x3+(a-1)x2+bx(a、b为常数)在x=1和x=4处取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈［-2,2］时,函数y=f(x)的图象在直线5x+2y-c=0的下方,求实数c的取值范围.
答案：
解法一:设抛物线的弦AB与圆x2+y2=1切于点P(x0,y0),则x02+y02=1,过P点的圆的切线方程为x0x+y0y=1.由
得y0x2+x0x-1=0.(*)
由Δ=x02+4y0=-y02+4y0+1＞0,得2＜y0＜2+.
又∵-1≤y0≤1且y0≠0,∴2
＜y0≤1且y0≠0.
令A(x1,x12),B(x2,x22),知x1、x2是方程(*)的两个实根,由根与系数的关系,得x1+x2=
①,x1x2=
②.
过A点的抛物线的切线AM的方程为y-x12=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.③
同理,BM的方程为y=2x2x-x22.④
联立①②③④,解得
∴x0=
代入x02+y02=1得(
)2+(
)2=1,
整理,得y2-4x2=1(x∈R
,y≤-1或y＞
),这就是点M的轨迹方程. 解法二:设直线AB的方程为y=kx+b,且A(x1,x12),B(x2,x22),
∵直线AB与圆相切,故
=1,即b2=1+k2.
由
得x2-kx-b=0,
由Δ=k2+4b=b2+4b-1＞0,得b＜-2
或b＞-2+
.
又∵b2=1+k2≥1,∴b＜-2
或b≥1.由根与系数关系有x1+x2=k,x1x2=-b.
又过点A的抛物线的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①
同理,过点B的抛物线的切线方程为y=2x2x-x22.②
联立①②解得
设M=(x,y),则
又∵b2=1+k2,∴y2-4x2=1(x∈R
,y≤-1或y＞2+
),这就是点M的轨迹方程. (文)解:(1)f′(x)=x2+(a-1)x+b,
由题设得
解之,得
∴f(x)=
x3-
x2+4x.
(2)由题设知f(x)＜-
(5x-c),即
x3-
x2+4x＜-
(5x-c),∴c＞
x3-5x2+13x.
设Q(x)=
x3-5x2+13x,x∈［-2,2］.
c只要大于Q(x)的最大值即可.Q′(x)=2x2-10x+13,当x∈［-2,2］时,Q′(x)＞0,
∴Q(x)max=Q(2)=
.∴c＞
.