（本小题满分13分）
已知椭圆
（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆
有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．
（本小题满分13分）
已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．
解：（1）∵焦距为4，∴ c=2………………………………………………1分
又∵
的离心率为
……………………………… 2分
∴
，∴a=
，b=2………………………… 4分
∴标准方程为
………………………………………6分
（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
由
得
……………………7分
∴x1+x2=
，x1x2=
由（1）知右焦点F坐标为（2，0），
∵右焦点F在圆内部，∴
＜0………………………………8分
∴（x1 -2）（x2-2）+ y1y2＜0
即x1x2-2（x1+x2）+4+k2 x1x2+k（x1+x2）+1＜0…………………… 9分
∴
＜0…………… 11分
∴k＜
……………………………………………………………… 12分
经检验得k＜时，直线l与椭圆相交，
∴直线l的斜率k的范围为（-∞，）……………………………13分