如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=BC=2AC=2． （Ⅰ）若D为AA

如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=BC=2AC=2．

（Ⅰ）若D为AA₁中点，求证：平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；

（Ⅱ）在AA₁上是否存在一点D，使得二面角B₁﹣CD﹣C₁的大小为60°．

【考点】平面与平面垂直的判定．

【专题】作图题；证明题；综合题；探究型；转化思想．

【分析】法一（Ⅰ）D为AA₁中点，推出平面B₁CD内的直线CD，垂直平面B₁C₁D内的两条相交直线DC₁，B₁C₁可得CD⊥平面B₁C₁D，即可得到

平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；

（Ⅱ）在平面ACC₁A₁内过C₁作C₁E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB₁，则EB₁⊥CD，可得∠B₁EC₁为二面角B₁﹣CD﹣C₁的平面角，设AD=x，

△DCC₁的面积为1求出x，在AA₁上存在一点D满足题意．

法二：（Ⅰ）建立空间直角坐标系．计算，推出CD⊥平面B₁C₁D，可得平面B₁CD⊥平面B₁C₁D．

（Ⅱ）设AD=a，则D点坐标为（1，0，a），通过计算求出a，即可说明在AA₁上存在一点D满足题意．

【解答】解法一：（Ⅰ）证明：∵∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°

∴B₁C₁⊥A₁C₁

又由直三棱柱性质知B₁C₁⊥CC₁∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁．

∴B₁C₁⊥CD

由AA₁=BC=2AC=2，D为AA₁中点，可知，

∴DC²+DC₁²=CC₁²=4即CD⊥DC₁

又B₁C₁⊥CD∴CD⊥平面B₁C₁D

又CD⊂平面B₁CD

故平面B₁CD⊥平面B₁C₁D

（Ⅱ）解：当时二面角B₁﹣CD﹣C₁的大小为60°．

假设在AA₁上存在一点D满足题意，

由（Ⅰ）可知B₁C₁⊥平面ACC₁A₁．

如图，在平面ACC₁A₁内过C₁作C₁E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB₁，则EB₁⊥CD

所以∠B₁EC₁为二面角B₁﹣CD﹣C₁的平面角

∴∠B₁EC₁=60°

由B₁C₁=2知，

设AD=x，则

∵△DCC₁的面积为1∴

解得，即

∴在AA₁上存在一点D满足题意

解法二：

（Ⅰ）如图，以C为原点，CA、CB、CC₁所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．

则C（0，0，0），A（1，0，0），B₁（0，2，2），C₁（0，0，2），D（1，0，1）．

即

由得

由得

又DC₁∩C₁B=C₁

∴CD⊥平面B₁C₁D又CD⊂平面B₁CD

∴平面B₁CD⊥平面B₁C₁D

（Ⅱ）当时二面角B₁﹣CD﹣C₁的大小为60°．

设AD=a，则D点坐标为（1，0，a），

设平面B₁CD的法向量为

则由令z=﹣1

得

又∵为平面C₁CD的法向量

则由

解得，故．

∴在AA₁上存在一点D满足题意

【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力、计算能力，是中档题．