函数f(x)=lg(ax)·lg
.
(1)当a=0.1,求f(1 000)的值;
(2)若f(10)=10,求a的值;
(3)若对一切正实数x恒有f(x)≤
,求a的取值范围.
函数f(x)=lg(ax)·lg.
(1)当a=0.1,求f(1 000)的值;
(2)若f(10)=10,求a的值;
(3)若对一切正实数x恒有f(x)≤,求a的取值范围.
解:(1)当a=0.1时,f(x)=lg(0.1x)·lg
,
所以f(1 000)=lg 100·lg
=2×(-7)=-14.
(2)因为f(10)=lg(10a)·lg
=(1+lg a)(lg a-2)
=lg2a-lg a-2=10,
所以lg2a-lg a-12=0,
所以(lg a-4)(lg a+3)=0,
所以lg a=4或lg a=-3.
所以a=104或a=10-3.
(3)因为对一切正实数x恒有f(x)≤,
所以lg(ax)·lg
≤对一切正实数恒成立.
即(lg a+lg x)(lg a-2lg x)≤,
所以2lg2x+lg alg x-lg2a+≥0对任意正实数x恒成立.
因为x>0,所以lg x∈R.
由二次函数的性质可得,Δ=lg2a-8(-lg2a)≤0.
所以lg2a≤1,所以-1≤lg a≤1.
所以
≤a≤10.
所以a的取值范围为[,10].