如图①所示,在直角三角形ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D为AC的中点,E为BD的中点,AE的延长线交BC于点F,将△ABD沿BD折起,二面角A
BDC的大小记为θ,如图②所示.
(1)求证:平面AEF⊥平面BCD;
(2)当cos θ为何值时,AB⊥CD.
如图①所示,在直角三角形ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D为AC的中点,E为BD的中点,AE的延长线交BC于点F,将△ABD沿BD折起,二面角ABDC的大小记为θ,如图②所示.
(1)求证:平面AEF⊥平面BCD;
(2)当cos θ为何值时,AB⊥CD.
(1)证明:在题图①中,∵D为Rt△ABC斜边AC的中点,∠ACB=30°,∴AD=AB.
又E为BD的中点,∴BD⊥AE,BD⊥EF.
在题图②中,BD⊥AE,BD⊥EF,AE∩EF=E,
∴BD⊥平面AEF.
又BD⊂平面BCD,∴平面AEF⊥平面BCD.
(2)解:过A作AO⊥EF,交EF的延长线于点O,连接BO交CD的延长线于点G.
由(1)知平面AEF⊥平面BCD,
∴AO⊥平面BCD,
∴BO即为AB在平面BCD上的射影.
要使AB⊥CD,只需BG⊥CD.
∴∠AEF=θ,∠AEO=180-θ.
△A′BD为正三角形,且BG⊥CD.
因此,G为A′D的中点,即O为△A′BD的重心.
∴cos ∠AEO=
=
,即cos(180°-θ)=,
∴当cos θ=-时,AB⊥CD.