图2-1-19
图2-1-19
思路解析
:为了求异面直线所成的角,一般我们都要分别作两条直线的平行直线且使所得的两条直线相交,这样所得直线的交角就是两异面直线所成的角或其补角.而求EF的长则要作△CAD和△CAB的中位线,在得到的△EFM中利用余弦定理后得到.解:如图2-1-18,过C作CP∥AB,并取CP=AB=2,连结AP.
过P作PQ∥CD,取PQ=CD=1,连结QD,则四边形ABCP、CDQP均为平行四边形.
连结PD、AC,于是可得△PAD≌△DCP,故∠DCP=∠PAD.
(1)当∠DAP为锐角时,∠DCP、∠PAD分别为异面直线AB和CD,AD和BC所成的角,这时∠DCP=∠PAD=60°.
(2)当∠DAP为钝角时,∠DCP=∠PAD=120°,这时AB和CD所成角为∠DCP的补角,为60°.
连结AC,取AC中点M,连结EM、FM,则FM
AD,ME
BC,
∴∠EMF为异面直线AD和BC所成的角或其补角.
若∠EMF=60°,则在△EFM中,由余弦定理得
EF2=(
)2+12-2×
×1×cos60°=
,即EF=
;
若∠EMF=120°,则在△EFM中,由余弦定理得
EF2=(
)2+12-2×
×1×cos120°=
,即EF=
.
综上所述,AB和CD所成的角为60°,EF的长为
或
.