(1)若三个小球的质量均为m且令h远小于R,则小球在碰撞时将交换速度,且三个小球组成的系统的运动是周期性的,求此系统的运动周期T.
(2)若三个小球的质量不同且成一定比例,当h为某一定值h0时,球1与球2碰撞,球2再与球3碰撞,经上述碰撞后三个小球的动量大小之比为1∶1∶2,方向相同,且球3恰能滑出容器,求三个小球的质量之比m1∶m2∶m3和h0的值.
(1)若三个小球的质量均为m且令h远小于R,则小球在碰撞时将交换速度,且三个小球组成的系统的运动是周期性的,求此系统的运动周期T.
(2)若三个小球的质量不同且成一定比例,当h为某一定值h0时,球1与球2碰撞,球2再与球3碰撞,经上述碰撞后三个小球的动量大小之比为1∶1∶2,方向相同,且球3恰能滑出容器,求三个小球的质量之比m1∶m2∶m3和h0的值.
（1）球1与球2、球2与球3碰撞后交换速度，球3滑至h高处，再滑回与球2碰撞，而球2与球1碰撞，又使球1滑回h高处，此后系统将做周期性运动，又因为h＜＜R
T1=T3=2π
①
而T=
+
②
由①②得T=2π
.③
(2)依题意三个球碰后的动量之比为1∶1∶2,令p1′=p，p2′=p,p3′=2p
由系统动量守恒得球1碰前动量
p1=p1′+p2′+p3′=4p④
由动量守恒得球1与球2碰后球2的动量
p2=p1-p1′=3p⑤
碰撞时无机械能损失，则有
+
⑥
由⑥式得
⑦
球2与球3碰撞时动量守恒且无机械能损失，则有
⑧
由⑧式得
⑨
由⑦⑨得m1∶m2∶m3=10∶6∶3⑩
对球3，碰后恰滑出容器，由机械能守恒得
=m3gR
而对球1，刚滑下直至与球2碰撞前机械能守恒，则
=m1gh0
解得：h0=0.36R