已知函数f（x）=lnx，g（x）=+bx（a≠0） （Ⅰ）若a=﹣2时，函数h（x）=

已知函数f（x）=lnx，g（x）=+bx（a≠0）

（Ⅰ）若a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设φ（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；

（Ⅲ）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；两条直线平行的判定．

专题： 计算题；证明题；压轴题．

分析： （I）根据a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，知道h′（x）在其定义域内大于等于零，得到一个关于b的不等式，解此不等式即得b的取值范围；

（II）先设t=e^x，将原函数化为关于t的二次函数，最后将原函数φ（x）的最小值问题转化成二次函数在某区间上的最值问题即可；

（III）先假设存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行，利用导数的几何意义求出切线的斜率进而得出切线的方程，后利用斜率相等求出R的横坐标，如出现矛盾，则不存在；若不出现矛盾，则存在．

解答： 解：（I）依题意：h（x）=lnx+x²﹣bx．

∵h（x）在（0，+∞）上是增函数，

∴对x∈（0，+∞）恒成立，

∴，∵x＞0，则．

∴b的取值范围是．

（II）设t=e^x，则函数化为y=t²+bt，t∈[1，2]．

∵．

∴当，即时，函数y在[1，2]上为增函数，

当t=1时，y_min=b+1；当1＜﹣＜2，即﹣4＜b＜﹣2时，当t=﹣时，；

，即b≤﹣4时，函数y在[1，2]上是减函数，

当t=2时，y_min=4+2b．

综上所述：

（III）设点P、Q的坐标是（x₁，y₁），（x₂，y₂），且0＜x₁＜x₂．

则点M、N的横坐标为．

C₁在点M处的切线斜率为．

C₂在点N处的切线斜率为．

假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，则k₁=k₂．

即．则

=，

∴设，则，（1）

令，则，

∵u＞1，∴r′（u）＞0，

所以r（u）在[1，+∞）上单调递增，

故r（u）＞r（1）=0，则，与（1）矛盾！

点评： 本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性、两条直线平行的判定等基础知识，属于中档题．