设关于x的方程sinx+
cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解α、β.
(Ⅰ)求α的取值范围; (Ⅱ)求tan(α+β)的值.
设关于x的方程sinx+cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解α、β.
(Ⅰ)求α的取值范围; (Ⅱ)求tan(α+β)的值.
(Ⅰ)|a|<2 且a≠-.
(Ⅱ)tan(α+β)=
(Ⅰ)∵sinx+cosx=2(
sinx+
cosx)=2 sin(x+
),
∴方程化为sin(x+)=-
.
∵方程sinx+cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解,
∴sin(x+)≠sin= .
又sin(x+)≠±1 (∵当等于和±1时仅有一解),
∴|-|<1 . 且-≠. 即|a|<2 且a≠-.
∴ a的取值范围是(-2, -)∪(-, 2).
(Ⅱ) ∵α、 β是方程的相异解,
∴sinα+cosα+a=0 ①.
sinβ+cosβ+a=0 ②.
①-②得(sinα- sinβ)+( cosα- cosβ)=0.
∴ 2sin
cos
-2sinsin=0, 又sin≠0,
∴tan=
.
∴tan(α+β)=
=.