设函数f(x)=
(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[0,1],使f(f(b))=b成立,则a的取值范围是( )
A.[1,e] B.[1
,1+e]
C.[e,1+e] D.[0,1]
设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[0,1],使f(f(b))=b成立,则a的取值范围是( )
A.[1,e] B.[1,1+e]
C.[e,1+e] D.[0,1]
A.若存在b∈[0,1],使f(f(b))=b成立,则A(b,f(b)),A′(f(b),
b)都在y=f(x)的图象上,又f(x)=在[0,1]上单调递增,所以
(xA′-xA)(yA′-yA)≥0,即(f(b)-b)(b-f(b))≥0,
所以(f(b)-b)2≤0,所以f(b)=b,
所以f(x)=x在[0,1]上有解,
即=x在[0,1]上有解,
所以a=ex+x-x2,x∈[0,1],
令φ(x)=ex+x-x2,x∈[0,1],
则φ′(x)=ex+1-2x>0,x∈[0,1],
所以φ(x)在[0,1]上单调递
增,又φ(0)=1,φ(1)=e,
所以φ(x)的值域为[1,e],即a∈[1,e].