=2.
(Ⅰ)求二面角E-AC-D的大小;；
(Ⅱ)在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC,若存在,确定点F的位置;若不存在,请说明理由.
=2.
(Ⅰ)求二面角E-AC-D的大小;；
(Ⅱ)在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC,若存在,确定点F的位置;若不存在,请说明理由.
答案：
解法一：(Ⅰ)作EM⊥AD于M,∵PA⊥面ABCD.∴面PAD⊥面ABCD
作MN⊥AC于N,连接NE,则NE⊥AC,
∴∠ENM为二面角E-AC-D的平面角,
∵EM=
PA=
a,AM=
a,∴MN=AM·sin60°=
a·
=
a.∴tanENM=
.
∴二面角E-AC-D的大小为30°.
(Ⅱ)取PC中点F,PE中点Q,连接FQ、BF、BQ,
设AC∩BD=O,连OE,则OE∥BQ,OF∥CE,∴平面BQF∥平面ACE,
∴在棱PC上存在中点F,使BF∥平面AEC.
解法二：(Ⅰ)建立如图所示空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(
a,-
a,0),D(0,a,0),
C(
a,
a,0),P(0,0,a),E(0,
a,
a),
∴
=(0,
a；
a),
=(
a,
a,0),
设平面ACE的法向量为n
=(x,y,z)则
,可得n=(
,-
,1),而平面ACD的法向量为n
1=
=(0,0,a), ∴cos〈n
·n1〉=
,∴二面角E-AC-D的大小为30°. (Ⅱ)由(Ⅰ)
=(
a,
a,-a),设F为PC上一点,且
=(
λa,
λa,-λa),
又
=(-
a,
a,a),∴
=
+
=(
a(λ-1),
(1+λ)a,a(1-λ))
令
=λ1
+λ2
,∴
=λ1(
a,
a,0)+λ2(0,
a,
a),
则
解得
∴当λ=
时,
=-
+
,
即
与
,
共面,此时F为BC中点,又BF
平面ACE,∴BF∥平面ACE.
解法三：(Ⅱ)取PC中点F,由
=
=
=
.
∴BF与AE共面,又BF
面ACE.∴BF∥平面ACE.